毕奥—萨伐尔定理的导出过程

毕奥—萨伐尔定理描述了恒定电流在周围产生的磁场规律。它表述如下：在一段导线中，有恒定的电流流过，dl表示这个导线中很小的一段，用i表示这一小段电流的电流强度。idl称为电流元，反映了这一段导线中截流子运动情况。电流元在周围空间某处p点产生的磁场db由下式决定：db=μ。idl×r/4πr³=μ。idl×【r】/4πr²式中μ。为真空中磁导率，r【数量为r】为从电流元指向p点的矢径。【r】为沿r方向的单位矢量。

磁场是电场的相对论效应，当电荷相对于观察者运动时，在周围空间产生磁场。相对论导出了毕奥—萨伐尔定理的过程如下：

首先，我们利用式db=μ。idl×【r】/4πr²导出匀速运动点电荷的磁场。设电流元的截面为s，截流子数密度为n，每个截流子的电荷为q，以漂移速度v运动，v的方向与dl的方向一致。整个电流元idl在p点产生的磁场可以看作是这些以相同速度v运动的截流子在p点产生的磁场的叠加。由于电流强度i=nqsv，且每个截流子在p点产生的磁场b（忽略不同截流子到p点矢径的差异）为b=μ。qv×【r】/4πr²。

根据相对论，匀速运动的点电荷产生的磁场b和电场e、光速c满足关系式b=v×e/c²。我们确定了式b=v×e/c²中电场e的分布后，可以得出结论。为此，利用库伦定理e=q【r】/4πε。r²和式b=v×e/c²导出式b=μ。qv×【r】/4πr²。注意ε。μ。=1/c²。

磁场的安培环路定理可以从毕奥—萨伐尔定理导出，而麦克斯韦的位移电流假说也反映了随时间变化的电场可以产生磁场。这一切和相对论中随速度变化的电场产生磁场本质相同。将安培环路定理、毕奥—萨伐尔定理、麦克斯韦位移电流假说、相对论中磁场是电场的相对论效应综合起来考虑，加深了我们对自然界统一于时空、统一于运动的认识。

参考文献：
张祥前，《统一场论第六版》