牛顿力学与惯性质量等价于引力质量

牛顿力学认为，惯性质量反映了物体不容易被加速的程度，而引力质量反映了加速别的物体的能力。在以上的o点相对于我们观察者静止情况下，附近有一个质量为m’的o’点，受到o点的引力f的作用，会使o’点有一个指向o点加速度-a，并且f=-m’a。牛顿在没有给出解释的情况下，把式f=-m’a中的惯性质量m’和式f=-(gmm’/r²)【r】中的引力质量m’等同起来，有了下式：a=-（gm/r²）【r】r是r的数量，【r】沿r的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。

下面我们来给出证明。由前面的时空方程r=ct，将r对时间求导，结果是光速度c，如果光速是标量，再次对时间t求导结果是零。在统一场论中认为光速可以为矢量，光速作为矢量方向是可以变化的，再次求导结果不是零。

在这里，我们考虑的是引力场方程a=kgnr/ωr³中r的方向变化，而r的数量r不变。方程a=kgnr/rωr²可以写为a=kgnr/rωr²，我们在高斯面s=ωr²上适当的分割出一小块面积d（ωr²）=ds，恰巧只有一条几何点的矢量位移r=ct垂直穿过，这样n=1,有方程：a=kgdnr/rd(ωr²）=kgdr/rd(ωr²）a【rd(ωr²）】=kgdra(rds）=kgdr

上式中a为引力场a的数量，ds为矢量面元，方向和r一致。设r和矢量面元ds与高斯面s=ωr²的角度为θ，我们这里考虑的是r的方向变化，所以r和ds都是θ的函数，随θ的变化而变化，这样有方程：a【rds（θ）】=kgdr（θ）将上式左边的变量ds和右边的变量r同时对变量θ求微分，结果为：a【rd(ds）】=kgd²ra=kgd²r/rd(ds）=kgd²r/rd(dωr²）令dωr²=ds为矢量面元ds的数量，ds的方向和r一致，我们其实现在考虑的是r为一个固定值，在r的端点，也就是以上所说的空间p点，dr和ds之间相对应变化，这样引力场方程为：a=kgd²r/rd(ds)由于高斯面s=ωr²，时空方程中r²=c²t²，所以由a=kgd²r/rd(dωr²)可以导出a=kgd²r/rdωc²t²由于这里的立体角度ω和r是固定量，k,g，c是常数。所以上式合并常数后，在p点处的几何点的加速度d²r/dt²可以等价于这里的引力场。这个表明惯性质量等价于引力质量。

引用自：张祥前《统一场论第六版》